二维均匀分布简单例题

对于均匀分布，其概率密度函数 \(f(x, y)\) 由于均匀，对于定义域内的容易一小块 \(dxdy\) 来说，高都会是常数且处处相等，所以 \(f(x, y)\) 是一个常数

均匀分布，无论多少维度，其概率密度函数的「高」，都会是常数，倒不如说，概率密度函数就是一个常数

不仅如此，\(\iint_Df(x, y)dxdy = 1\)，由于底面积是 \(D\)，所以：

\(\iint_Df(x, y)dxdy = \iint_Dcdxdy = c \iint_Ddxdy = c \times D\)

解得 \(f(x, y) = \frac{1}{D}\)

由题意知，若 \(x^2 + y ^ 2 \leq 4\)，则概率密度函数的底面积是 \(4 \pi\)，所以：

\(f(x,y) = \frac{1}{4 \pi}\)

\(P\{0 < X < 1, 0 < Y < 1\} = \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{1}{4 \pi}dy = \frac{1}{4 \pi}\)