二维正太分布简单例题

若随机变量 \((X, Y)\) 的概率密度函数满足：

就称随机变量 \((X, Y)\) 服从二维正太分布，记作：\((X, Y) \sim N(\mu _1, \mu _2, \sigma _1 ^ 2, \sigma _2 ^ 2, \rho)\)

由题意可知概率密度函数为：

\(f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma ^ 2}e ^ {-\frac{x ^ 2 + y ^ 2}{2 \sigma ^ 2}}\)

所以若要求 \(P\{X < Y\}\) 的概率，需要先将 \(Y\) 固定下来，则 \(X\) 的取值范围为：\(-\infty < X < Y\):

\(P\{X < Y\} = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{Y}\frac{1}{2\pi \sigma ^ 2}e ^ {-\frac{x ^ 2 + y ^ 2}{2 \sigma ^ 2}}dxdy\)

转换成极坐标，将定义域的面积单元在无限小的情况下，几乎相同，所以对于 \((dx, dy)\) 和 \((dr, d\theta)\) 在无限小的情况下分的到的面积可以画上等号：

\(dxdy = rdrd\theta\)

令 \(x = r\cos \theta, y = r \sin \theta\)，则 \(X < Y\) 可以表示成：

\(\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]\)

所以原积分式用极坐标表示如下：

\(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi \sigma ^ 2}e ^ {-\frac{r ^ 2}{2 \sigma ^ 2}}rdrd\theta\)

结果为：\(\frac{1}{2}\)