二维连续型随机变量的边缘分布简单例题

边缘分布函数：

\(F_x(x) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y) dydx\)

边缘密度函数：

\(f_x(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} f(x, y) dy，f_y(y) = \int ^ {+\infty}_{-\infty} f (x, y) dx\)

对于这道题，如果我们要求 \(F_x(x)\) 得先把 \(x\) 固定下来，那么 \(y\) 的取值范围是：

\(x ^ 2 \leq y \leq x\)

所以 \(F_x(x)\) 等于：

\(F_x(x) = \int_{-\infty}^{x}\int_{x ^ 2}^{x} 6 dydx\)

由于 \(x ^ 2 \leq x\)，解得 \(0 \leq x \leq 1\) 所以 \(F_x(x) = \int_{0}^{x}\int_{x ^ 2}^{x} 6 dydx\)

结果为：\(F_x(x) = 3 x ^ 2 - 2 x ^ 3，其中 0 \leq x \leq 1\)

概率密度函数：

\(f_x(x) = \int _ {x ^ 2} ^ {x} 6 dy\)

解得：\(f_x(x) = 6 (x - x ^ 2), 此时 0 \leq x \leq 1\)

若要求 \(Y\) 的边缘分布函数，得先将 \(y\) 固定下来，\(y\) 的取值范围为：

\(0 \sim 1\)

\(x\) 的取值范围为：

\(y \leq x \leq \sqrt{y}\)

所以边缘分布函数的表达式为：

\(F_y(y) = \int_{0}^{y}\int_{y}^{\sqrt{y}}6dxdy\)

解得：\(F_y(y) = 4y^{\frac{3}{2}} - 3 y ^ 2\)

概率密度函数：

\(f_y(y) = \int _ {y} ^ {\sqrt{y}} 6 dx\)

解得：\(f_y(y) = 6 (\sqrt{y} - y), 此时 0 \leq y \leq 1\)