二维随机向量简单例题引入

概率密度函数的性质：

全积分为 \(1\)：\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dxdy = 1\)

\(F(x, y) = \int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(x, y)dxdy\)

由题意易得：

\(\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} f(x, y) dxdy = 1\)

可解得：\(\frac{k}{6} = 1\) 所以 \(k = 6\)

分布函数：

\(F(x, y) = \int_{0}^{y}\int_{0}^{x}f(x, y)dxdy\)

解得：\(F(x, y) = 1 + e ^ {-(2x + 3y)} - e ^ {-2x} - e ^ {-3y} = (1 - e ^ {-2x})(1 - e ^ {-3y})\)

求 \(P\{X < Y\}\)，思路是先固定一个 \(Y\)，那么满足条件的 \(X\) 满足 \(0 < X < Y\)：

\(\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{y}f(x, y)dxdy = \frac{2}{5}\)