二项分布

Question

设某事件 \(A\) 在一次试验中发生的概率为 \(p\) 。

现把这个试验独立地重复 \(n\) 次，以 \(X\) 记 \(A\) 在这 \(n\) 次实验中发生的次数，则 \(X\) 的可能取值为 \(0、1、\cdots 、n\)。

试求 \(P(X = k)\) 的概率，其中 \(k\) 是 \(0 \sim n\) 的整数。

思维过程

由于 \(k\) 是一个不大于 \(n\) 的自然数，代表事件 \(A\) 发生的次数；那么事件 \(A\) 不发生的次数为 \(n - k\)。

相当于是将 \(n\) 分成两种堆，一种是「\(A\) 发生堆」，另外一种是「\(A\) 不发生堆」，个数分别为 \(k\) 、\(n - k\)。

所以概率为：

\(P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p) ^ {n - k}\)

我们定义这种分布为「二项分布」用 \(b(k; n, p)\) 来表示在二项分布下，试验独立进行 \(n\) 次，每次事件发生的概率为 \(p\) 的情况下，求事件发生 \(k\) 次的概率；用 \(X \sim B(n, p)\) 表示该随机变量 \(X\) 服从二项分布。