二项分布可近似看成泊松分布的情况

思维过程

若 \(100 + a\) 个元件中有 \(k(k \geq 100)\) 个符合规定，那么就会有 \(100 - k\) 个不符合规定，这很容易想到将 \(100 + a\) 分成两堆，一堆代表符合有 \(k\) 个，另一堆代表不符合有 \(100 - k\) 个，这可以用二项分布 \(b(k \geq 100; 100 + a, 0.99)\) 来代替。

对于 \(100 \leq k \leq 100 + a\) 范围内的每一个 \(k\)，发生的概率为：\(P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}\)

所以对取值范围内每一个 \(k\) 求和为：

\(\sum^{100 + a}_{100}\binom{100 + a}{k}0.99^k0.01^{100 + a - k} \geq 0.95\)

我们发现，现在用 二项分布来暴力求解挺困难的，需要不断枚举每一个 \(k\) 的概率然后求和。

泊松分布

若随机变量 \(X\) 的可能取值为 \(0、1、2、\cdots\) 且概率分布为:

\(P(X = i) = \frac{e ^ {-\lambda}\lambda ^ i}{i!}\)

就称 \(X\) 服从泊松分布，记为 \(X \sim P(\lambda)\)。

一般来说，若对于二项分布 \(X \sim B(n, p)\)，其中 \(n\) 很大，\(p\) 很小，而 \(np = \lambda\) 很小时，\(X\) 的二项分布可近似看成是泊松分布:

\(X \sim B(n, p) \rightarrow P(\lambda = np)\)

为了将上述的思维过程的随机变量 \(X = k\) 的取值范围从 \(100\) 开始转换成与泊松分布的从 \(0\) 开始相吻合，我们不妨考虑不符合规定的二项分布：

\(b(k; 100 + a, 0.01)\)

题意要求的概率转而求下面的求和不等式：

\(\sum_{k = 0}^{a}\binom{100 + a}{k}0.01^k0.99^{100 + a - k}\)

由于废品率为 \(0.01\)，这意味着在 \(100\) 件平均产品中，只会有一件次品；\(200\) 件平均产品下，才会有两件次品，\(198\) 件符合产品；因此 \(a\) 的取值势必会很小。

并且 \(n \geq 10，p \leq 0.1\)，并且由于 \(a\) 会很小，所以 \(\lambda = np = (100 + a) \times 0.01 = 1 + a \times 0.01\), \(a \times 0.01\) 可近似忽略掉，一般为了简化也会想办法弄掉未知量，二项分布可近似的当作泊松分布来做，上述不等式转换为：

\(\sum_{k = 0}^{a}\frac{e^{-1}}{k!} \geq 0.95\)

为了找出最小的 \(a\)，我们不妨从最小值 \(0\) 往上一一枚举

\(a = 0\) 时，求和公式的值为 \(0.368\) \(a = 1\) 时，求和公式的值为 \(0.0.736\) \(a = 2\) 时，求和公式的值为 \(0.920\) \(a = 3\) 时，求和公式的值为 \(0.981\)

所以满足题意的最小值 \(a = 3\)。