五重伯努利试验
Question
伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。
已知 \(5\) 重伯努利试验中成功的次数 \(X\) 满足：\(P\{X = 1\} = P\{X = 2\}\)。
求概率 \(P\{X = 4\}\)。
假设随机试验的成功概率为 \(p\)，那么失败的概率就是 \(1 - p\)，所以：
进行 \(n\) 次试验，成功了 \(k\) 次的概率 \(p(k) = \binom{k}{n}p^k(1 - p) ^ {n - k}\)
所以对于 \(5\) 重伯努利试验成功了 1 次、2 次的概率分别为：
\(p(1) = \binom{1}{5}p^1(1 - p) ^ {4}，p(2) = \binom{2}{5}p^2(1 - p)^3\)
因为 \(p(1) = p(2)\)，所以解得 \(p = \frac{1}{3}\)，所以：
\(p(4) = \binom{4}{5}p^4(1 - p) ^ 1 = \frac{10}{243}\)