公平的棋局
题目
甲、乙两人下象棋，每局甲胜的概率为 \(a\)，乙胜的概率为 \(b\)，为简化问题，设没有和局给情况，这意味着对于每一句要么甲赢，要么就乙赢，\(a + b = 1\)。
设想甲的棋艺高于乙，即 \(a > b\)，为了游戏公平性，要适当的打压强者，给予弱者规则上的优惠：
到什么时候为止，甲连胜了三局，则甲胜；到什么时候为止，乙连胜了两局，则乙胜。
请你求出「甲最终胜」的概率、「乙最终胜」的概率。
这道题目有点棘手，因为稍不留神就有可能比赛无穷多次都无法分出个结果：
甲乙甲乙甲乙··· ···
我们思考一下，如果「甲」最终胜，则最终必有：
甲甲甲
那前面必定不可能出现子串：
甲甲甲、乙乙
可以是：
甲乙、甲甲乙
的任意组合，并且由上面这两种子串的任意多个，任意位置的组合确实可以构成使得「甲最终胜」的比赛可能串。
若一开始是甲赢，并且是甲最终胜，「甲乙」片段出现的可能性为 \(p_1 = ab\)，「甲甲乙」片段出现的可能性为 \(p_2 = aab\)；
假设比赛异常焦灼，持续了 \(n\) 个上面的片段之后比赛才使得「甲最终胜」，对于每一个片段的位置，要么出现「甲乙」，要么出现「甲甲乙」，这两个片段出现的概率是等可能的，所以比赛出现了 \(n\) 个片段之后，甲最终胜的概率为，可以想象成权值相等的二叉树：
\(p = (ab + aab) ^ n \times aaa\)
这「二叉选择树」的概率为：\((ab + aab) \times (ab + aab) \times (ab + aab) = (ab + aab) ^ 3\)
由于 \(n\) 可以取 \(0、1、2、\cdots 、\infty\)，将每一个 \(n\) 对应的甲最终胜的概率求和：
\(p_{all} = [\sum_{n = 0}^{\infty}(ab + aab) ^ n] \times aaa\)
根据等比求和公式：\(s_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)，所以 \(\sum_{n = 0}^{\infty}(ab + aab) ^ n \rightarrow \frac{1}{1 - ab(1 + a)}\)
所以：\(p_{all} = \frac{a^3}{1 - ab(1 + a)}\)
若一开始是乙胜，并且还是「甲最终胜」的概率和上面类似，只是多乘了一个 \(b\):
\(p_{all} = \frac{a^3b}{1 - ab(1 + a)}\)
综上所述，甲最终胜的概率为：
\(p = \frac{a^3(1 + b)}{1 - ab(1 + a)}\)
对于乙最终胜，也是按照这种思考方式，快上课了就暂时不写了，有空再补。