多项式分布

我们将一个试验独立的进行一次，其完备事件群为：\(\{A_1, A_2, \cdots , A_n\}\) ，且事件群中，任意两个事件相互排斥，不可能同时发生多个，一次只能且必定发生其中一个。

对于事件 \(A_i\) 发生的概率为 \(p_i\)，则 \(p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\)。

我们将试验独立的进行 \(N\) 次，记 \(k_i\) 为事件 \(A_i\) 发生的次数，则 \(k_1 + k_2 + \cdots + k_n = N\)。

\(p(k_1, k_2, \cdots, k_n) = \frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_n!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n}\)，想象成将 \(N\) 分成大小分别为 \(k_1, k_2, \cdots k_n\) 的堆。

由于 \(k_1, k_2, \cdots , k_n\) 的值并不固定，只需要满足 \(k_i\) 是非负整数，\(k_1 + k_2 + \cdots + k_n = N\) 即可。

所以 \(k_1, k_2, \cdots , k_n\) 的全概率和为：

\[ \sum_{k_1, k_2, \cdots, k_n}^{*}\frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_n!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} = (p_1 + p_2 + \cdots + p_n) ^ N = 1 \]

由于全概率求和公式化简的结果与多项式公式\((x_1 + x_2 + \cdots + x_n) ^ N\) 一致，就称呼为多项式分布。

对于式子 \(\frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_n!} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_n^{k_n}\)，若分母的和等于分子，即 \(k_1 + k_2 + \cdots + k_n = N\)，且右边为随机变量 \(x_i^{k_i}\) 其求和公式就可以化简成多项式的形式：\((x_1 + x_2 + \cdots + x_n) ^ N\)。

固定一个试验结果发生的次数，求概率

Question

某种试验的结果为：\(A_1, A_2, \cdots , A_n\) 中的一种，并且每一种可能的结果互相排斥；

对于结果 \(A_i\) 发生的概率为：\(p_i\)；

若对该试验独立进行了 \(N\) 次，求试验结果 \(A_1\) 发生 \(k_1\) 次的概率。

思路一：

将 \(N\) 分成大小分别为 \(k_1、N - k_1\) 的两个堆，则有 \(\frac{N!}{k_1!(N - k_1)!}\) 种划分方法；

其中大小为 \(k_1\) 的堆为 \(A_1\) 发生所在的堆，剩下的大小为 \(N - k_1\) 的堆由剩下的试验结果 \(A_2、\cdots、A_n\) 发生的次数构成；

我们将试验结果 \(A_1\) 独立出去，将剩下的试验结果看成是某种试验 \(B\) 进行一次的可能取值，则对于 \(A_i, i \geq 2\) 在试验 \(B\) 中发生的可能性为：\(\frac{p_i}{1 - p_i}\)

由全概率和公式：

\[ \begin{aligned} \sum_{k_2、k_3、\cdots 、k_n}^{*}\frac{N(N-k_1)!}{k_2!k_3! \cdots k_n!}(\frac{p_2}{1 - p_1})^{k_2}(\frac{p_3}{1 - p_1})^{k_3} \cdots (\frac{p_n}{1 - p_1})^{k_n} \\ = (\frac{p_2}{1 - p_1} + \frac{p_3}{1 - p_1} + \cdots + \frac{p_n}{1 - p_1}) ^ N = 1 \end{aligned} \]

所以 \(A_1\) 固定发生 \(k_1\) 次的概率为:

\(\frac{N!}{k_1!(N-k_1)!}p_1^{k_1}(1 - p_1)^(N - k_1)\)

思路二：

由于 \(k_1\) 固定，但 \(k_2、k_3、\cdots 、k_n\) 不是固定，所以概率和为：

\[ \begin{aligned} \sum^{*}_{k_2, k_3, \cdots , k_n} \frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_n!} p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n} \end{aligned} \]

将固定的值都提取出来：

\[ \begin{aligned} \frac{N!}{k_1!}p_1^{k_1} \sum^{*}_{k_2!, ,k_3!,\cdots, k_n!}\frac{1}{k_2!k_3!\cdots k_n!}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\cdots p_n^{k_n} \end{aligned} \]

化简成多项式的形式，分母的和为分子，右边为分母各项的次方：

\[ \begin{aligned} \frac{N!}{k_1!(N - k_1)!}p_1^{k_1}(1 - p_1)^{N - k_1} \sum_{k_2,k_3,\cdots,k_n}^{*}\frac{(N - k_1)!}{k_2!k_3!\cdots k_n!}(\frac{p_2}{1 - p_1})^{k_2}(\frac{p_3}{1 - p_1})^{k_3} \cdots (\frac{p_n}{1 - p_1})^{k_n} \end{aligned} \]

化简成多项式的形式：

\[ \begin{aligned} \frac{N!}{k_1!(N - k_1)!}p_1^{k_1}(1 - p_1)^{N - k_1} (\frac{p_2}{1 - p_1} + \frac{p_3}{1 - p_1} + \cdots + \frac{p_n}{1 - p_1}) ^ N \end{aligned} \]

结果为：

\(\frac{N!}{k_1!(N - k_1)!}p_1^{k_1}(1 - p_1)^{N - k_1}\)

思路三：

想象成二项分布事件，实验结果 \(A_1\) 发生了 \(k_1\) 次，没有发生 \(N - k_1\) 次的概率为:

\(\frac{N!}{k_1!(N - k_1)!}p_1^{k_1}(1 - p_1)^{N - k_1}\)

结论：若要求某试验结果 \(A_i\) 固定发生了 \(k_i\) 次的概率，只需要当作二项分布 \(b(k_i; N, p_i)\) 来求就行。

推广到多个试验结果固定次数，求概率

Question

若一个试验的试验结果是 \(\{A_1, A_2, \cdots , A_n\}\) 中的一种，且上面的试验结果互相排斥，每一次试验有且仅有一种试验结果发生，对于任意一个试验结果 \(A_i\) 发生的概率为 \(p_i\)。

若对该试验进行了 \(N\) 次，请你求试验结果 \(A_1、A_2、\cdots 、A_s\) 分别发生 \(k_1、k_2、\cdots 、k_s\) 次的概率。

将 \(N\) 分成大小分别为：\(k_1、k_2、\cdots、k_s、(N - k_1 - k_2 - \cdots - k_s)\) 的堆，总共有多少种分法：

总共有 \(\frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_s!(N - k_1 - k_2 - \cdots - k_s)!}\) 种分法

假设有这样的试验 \(B\) 其试验结果为：\(A_{s+1} \cdots A_n\)，且对于任意的试验结果 \(A_i(i \geq s + 1)\) 来说，其发生的概率为：\(\frac{p_i}{1 - (p_1 + p_2 + \cdots p_s)}\)

所以题目所求的概率为：

\(\frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_s!(N - k_1 - k_2 - \cdots - k_s)!}p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s} \times (1 - p_1 - \cdots p_s) ^ (N - k_1 - \cdots k_s)\)

\(\times\)

\(\sum_{k_{s + 1} \cdots k_n}^{*}\frac{(N - k_1 - \cdots k_s)!}{k_{s + 1}!k_{s + 2}!\cdots, k_n!}(\frac{p_{s + 1}}{1 - k_1 - \cdots k_s}) ^ {k_{s + 1}} \cdots (\frac{p_n}{1 - k_1 - \cdots k_s}) ^ {k_n}\)

\(=\)

\(\frac{N!}{k_1!k_2!\cdots k_s!(N - k_1 - k_2 - \cdots - k_s)!}p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s} \times (1 - p_1 - \cdots p_s) ^ (N - k_1 - \cdots k_s)\)

结论：若将某些试验结果固定发生多少次，叫你求这样的概率，只需要将试验次数 \(N\) 分成大小分别为 \(k_1、k_2、\cdots 、k_s 、(N - k_1 - k_2 - \cdots - k_s)\) 的堆，分别代表事件 \(A_1、A_2、\cdots 、A_s、\bar{A}\) 发生的次数，每一个试验分别发生的概率分别对应 \(p_1、p_2、\cdots 、p_s、(1 - p_1、p_2、\cdots 、p_s)\)，求这样的概率

在多项式分布中，在已知某事件固定发生了几次的情况下，求另一事件发生某次的概率

Question

若进行一次试验，其可能的结果为 \(A_1、A_2、\cdots 、A_n\) 中的一种，并且这些可能的结果相互排斥，每一次试验有且仅有一种结果发生。

每一种结果分别对应的发生概率为：\(p_1、p_2、\cdots 、p_n\)。

若进行 \(N\) 次独立的试验，已知结果为 \(A_2\) 发生了 \(k_2\) 次，求此时 \(A_1\) 发生了 \(k_1\) 次的概率。

先求 \(p(A_2 = k_2)\) 的概率，再求 \(p(A_1 = k_1, A_2 = k_2)\) 的概率，那么答案就是：

\(\frac{p(A_1 = k_1, A_2 = k_2)}{p(A_2 = k_2)}\)

由上面的结论我们容易得：

\(p(A_2 = k_2) = \frac{N!}{k_2!(N - k_2)!}p_2^{k_2}(1 - p_2) ^ (N - k_2)\)

\(p(A_1 = k_1, A_2 = k_2) = \frac{N!}{k_1!k_2!(N - k_1 - k_2)!}p_1^{k_1}p_2^{k_2}(1 - p_1 - p_2) ^ (N - k_1 - k_2)\)

所以 \(p(A_1 = k_1 | A_2 = k_2) \frac{p(A_1 = k_1, A_2 = k_2)}{p(A_2 = k_2)} = \frac{p_1^{k_1}(1 - p_1 - p_2) ^ {N - k_ 2 - k_1} (N - k_2)!}{k_1!(N - k_1 - k_2)!(1 - p_2)^{N - k_2}}\)

化简步骤也看一看吧：

\(\frac{p_1^{k_1}(1 - p_1 - p_2) ^ {N - k_ 2 - k_1} (N - k_2)!}{k_1!(N - k_1 - k_2)!(1 - p_2)^{N - k_2}} = \frac{p_1^{k_1}(1 - p_1 - p_2) ^ {N - k_ 2 - k_1} (N - k_2)!}{(1 - p_2) ^ {k_1} k_1!(N - k_1 - k_2)!(1 - p_2)^{N - k_2 - k_1}}\)

最终可化简成：

\(\frac{(N - k_2)!}{k_1!(N - k_1 - k_2)!}(\frac{p_1}{1 - p_2}) ^ {k_1} (1 - \frac{p_1}{1 - p_2}) ^ {N - k_1 - k_2}\)

可以表示成二项分布：\(b(k_1; N - k_2, \frac{p_1}{1 - p_2})\)