家庭的小孩全是同性
题目
设一个家庭有 \(k\) 个小孩的概率为 \(p_k\)。
又设各小孩的性别独立，且生男生女的概率各为 \(\frac{1}{2}\)。
试求事件 \(A\) = { 家庭中所有小孩都是同性 } 的概率。
引进事件 \(B_k\) = { 家庭中有 \(k\) 个小孩 }，则 \(B_0、B_1、B_2、\cdots、 B_{\infty}\) 构成完整事件群，并且我们可以单独求出每一个 \(B_K\) 的概率：
\(p_{B_k} = p_k\)
在有了 \(k\) 个小孩的基础上，全是男性和全是女性的概率都是：
\(p(A\ |\ B_k) = (\frac{1}{2})^k\)
所以生下 \(k\) 个都是同性小孩的概率为：
\(p_{AB_k} = 2 \times p_k(\frac{1}{2})^k\)
则由于 \(k = 0、1、2、\cdots 、\infty\)，所以全概率为：
\(p(A) = \sum_{k = 0}^{\infty}2 \times p_k(\frac{1}{2})^k\)