指数分布简单例题
Question
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 \(X\) (以 min 计) 服从指数分布 \(E(\frac{1}{5})\)。
某顾客在窗口等待服务，若超过 \(10\) min 他就离开。
他一个月要到银行 \(5\) 次。
以 \(Y\) 表示他一个月内未等到服务而离开窗口的次数，试写出 \(Y\) 的分布律，并求出 \(P\{Y \geq 1\}\)
若随机变量 \(X\) 有概率密度函数
\(x > 0, f(x) = \lambda e^{-\lambda x};\ \ x \leq 0, f(x) = 0\)
就称 \(X\) 服从指数分布，其中 \(\lambda > 0\)，记为：\(X \sim E(\lambda)\)
因为概率密度函数是 \(f(x) = \frac{1}{5}e^{-\frac{1}{5}x}\)，所以 \(x\) 分布在区间 \([0, 10]\) 的概率为：
\(P\{0 \leq x \leq 10\} = \int_{0}^{10} \frac{1}{5}e^{-\frac{1}{5}x} dx = 1 - e ^ {-2}\)
随机变量 \(Y^`\) 服从「二项分布」，即 \(B(5, 1 - e ^ {-2})\)，所以：
\(P(Y^` = k) = \frac{5!}{k!(5 - k)!}(1 - e^{-2})^k(e ^ {-2}) ^ {(5 - k)}\)
容易求得 \(P\{0\} = e ^ {-10}\)，所以：
一个月内等到不低于 1 次服务的概率为：\(P\{Y^` \geq 1\} = 1 - e ^ {-10}\)
随机变量 \(Y\) 服从 「二项分布」，即 \(B(5, e ^ {-2})\)，所以：
\(P\{Y = k\} = \frac{5!}{k!(5 - k)!}(e^{-2})^k(1 - e^{-2}) ^ {(5 - k)}\)
容易求得 \(P\{0\} = (1 - e ^ {-2}) ^ 5\)，所以：
一个月内没等到不低于 1 次服务的概率为：\(P\{Y \geq 1\} = 1 - (1 - e ^ {-2}) ^ 5\)