概率密度函数
Question
已知随机变量 \(X\) 的密度函数为：
\(f(x) = Ae^{-|x|}，-\infty < x < + \infty\)
求：
- \(A\) 值；
- \(P\{0 < X < 1\}\)
- \(F(x)\)
由全概率和为 \(1\) 可得：
\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) = 1\)
解得 \(A = \frac{1}{2}\)。
\(P\{0 < X < 1\} = \int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{2}e^{-x}dx = A - Ae^{-1}\)
当 \(x < 0\) 时:
\(F(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{2}e^{x}dx = \frac{1}{2}e^{x}\)
当 \(x \geq 0\) 时:
\(F(x) = \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2}e^xdx + \int_{0}^{x}\frac{1}{2}e^{-x}dx = 1 - \frac{1}{2}e^{-x}\)