概率密度函数简单例题
Question
设随机变量 \(X\) 的概率密度函数为：
\(0 \leq x < 1 时，f(x) = x\)
\(1 \leq x < 2 时，f(x) = 2 - x\)
其他 \(f(x) = 0\)
求 \(X\) 的分布函数。
分布函数与概率密度函数的关系：
\(f(x) = {F}'(x)\)
所以 \(F(x) = \int_{-\infty}^xf(x)dx\)
当 \(x < 0\) 时：
\(F(x) = 0\)
当 \(0 \leq x < 1\) 时：
\(F(x) = \int_{0}^{x}xdx = \frac{1}{2}x^2\)
当 \(1 \leq x < 2\) 时：
\(F(x) = \int_{0}^{1} x dx + \int _ {1}^{x} 2 - x dx = -\frac{1}{2}x ^ 2 + 2x - 1\)
当 \(x \geq 2\) 时：
\(F(x) = 1\)