正太分布简单例题

随机变量 \(X\) 的概率密度函数若满足：

\(f(x) = (\sqrt{2\pi}\sigma)^{-1}e^{-\frac{(x - \mu) ^ 2}{2 \sigma ^ 2}}\)

就称随机变量 \(X\) 满足正太分布，记作：\(X \sim N(\mu, \sigma ^ 2)\) mu、sigma 的平方。

对于 \(X \sim N(\mu, \sigma ^ 2)\) 化为标准正太分布 \(X \sim N(0, 1)\)，只需让 \(X = \frac{X - \mu}{\sigma}\)，查表的时候也是化为标准正太分布：

查 \(\Phi(\frac{X - \mu}{\sigma})\)

若 \(\frac{X - \mu}{\sigma} < 0\) 我们是查不到的，当时由于正太分布的概率密度函数关于 \(x = 0\) 轴对称，所以:

\(\Phi(\frac{X - \mu}{\sigma}) = 1 - \Phi(|\frac{X - \mu}{\sigma}|)\)

我们一般不用写出概率密度函数，怎么求 \(P\{-4 < X \leq 10\}\) 的概率呢？

由于随机变量 \(X \sim N(3, 2 ^ 2)\)，所以查表：

\(\Phi(\frac{-4 - 3}{2} = -3.5) = 1 - \Phi(3.5)\)，\(\Phi(\frac{10 - 3}{2} = 3.5)\)

所以 \(P\{-4 < X \leq 10\} = \Phi(3.5) - (1 - \Phi(3.5)) = 2 \Phi(3.5) - 1\)

查表得：\(\Phi(3.5) = 0.9998\)，所以：

\(2 \Phi(3.5) - 1 = 0.9996\)

若 \(P\{X > c\} = P\{X \leq c\}\) 则 \(c\) 将会是概率密度函数 \(f(x)\) 的中间平分线，即:

\(x = \mu\)，所以 \(c = \mu\)。