泊松分布

若随机向量 \(X\) 的可能取值为 \(0、1、2、\cdots\) 且概率分布为 \(P(X = i) = \frac{e^{- \lambda}\lambda ^i}{i!}\)，则称 \(X\) 服从泊松分布，常记为 \(X \sim P(\lambda)\)。此处 \(\lambda = np\) 是个常数。通常当 \(n \geq 20，p \leq 0.05\) 时，就可以使用泊松分布来近视求值。

由于这里的 \(p \leq 0.001，n \geq 5000\)，可以近似使用泊松分布求值，且 \(\lambda = np = 5\)。

根据泊松分布有：\(P(X = i) = \frac{e^{-\lambda} \lambda ^ i}{i!}\)，且全概率和为 \(1\)，即：\(\sum_{i = 0}^{n}\frac{e^{-\lambda} \lambda ^ i}{i!} = 1\)。

我们要求 \(P(X \leq 1)\) 的概率，所以有：\(P(X \leq 1) = \sum_{i = 0}^{1}\frac{e^{-\lambda} \lambda ^ i}{i!} = \sum_{i = 0}^{1}\frac{e^{-5}5^i}{i!} = 6e^{-5} \approx 0.04044\)，所以车祸数量不少于 \(2\) 的概率为：\(1 - 0.04044 \approx 0.96\)。