赌博规则

我个人感觉甲赢的概率更高，参考骏哥哥的想法就是一开始 \(n = 1\) 的时候，甲和乙赢的概率是五五开的，但随着 \(n\) 的越来越大，乙越来越不占优势，所以全概率甲赢的概率比乙赢的概率还要大。

设事件 \(A_n = \{投掷了 n 次后才出现正面\}\)，则 \(A_1、A_2、\cdots 、A_{\infty}\) 构成完整的事件群。

在 \(A_n\) 发生的情况下，抽到红球的概率为：\(\frac{n}{1 + n}\)；抽到白球的概率为：\(\frac{1}{1 + n}\)。

所以投掷 \(n\) 次才出现正面，并且还抽到红球的概率为：\((\frac{1}{2})^n \times \frac{n}{1 + n}\)。

又由于 \(n\) 的可能取值为：\(1、2、\cdots 、\infty\)，所以甲赢的全概率为：

\(\sum_{n = 1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n \times \frac{n}{1 + n}\)

如果你觉得甲赢的概率比较难算，那我们先尝试求出乙赢的概率，则「甲赢的概率 = 1 - 乙赢的概率」：

\(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^n(n + 1)}\)

又因为 \(\frac{1}{2^n(n + 1)} \leq \frac{1}{2^n \times 2}\)

所以 \(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^n(n + 1)} \leq \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^n \times 2}\)

根据等比公式 \(a_1\frac{1 - q^n}{1 - q}\) 可求得：\(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^n \times 2} \rightarrow \frac{1}{2}\)

所以：\(\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^n(n + 1)} \leq \frac{1}{2}\)

我们求得乙赢的概率确实小于 \(\frac{1}{2}\)，所以甲更有可能赢得该比赛。

稍微改一下上题：

乙赢的概率更大，例如在 \(n = 1\) 的条件下，甲赢的概率和乙赢的概率都是 \(\frac{1}{2}\)，但是若 \(n > 1\)，在已知投掷出 \(n\) 个的情况下，甲赢的机会越来越小，都会小于 \(\frac{1}{2}\)，则全概率甲赢的概率会小于乙赢的概率。

在投掷 \(n\) 次才出现正面的基础上，甲赢的概率为：\(\frac{1}{n + 1}\)，乙赢的概率为：\(\frac{n}{n + 1}\)；

投掷出 \(n\) 次才出现正面且甲赢的概率为：\(\frac{1}{2^n(n + 1)}\)，等等，卧槽这和上面那题一样的基本上，丢！按照上面那条的分析思路取做就行了，只不过甲乙赢的规则正好颠倒。