n 中取 r
题目一
在 \(n\) 个相异的物件中取 \(r\) 个的不同排列总数。
\(p_r^n = A_r^n = n (n - 1) (n - 2) \cdots (n - r + 1) = \frac{n!}{(n - r)!}\)
题目二
在 \(n\) 个相异的物件中取 \(r\) 个的不同组合总数。
\(C_r^n = \frac{p_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!}\)，我们也可以使用 \(\binom{n}{r}\) 代替 \(C_r^n\)。
组合数又常称为「二项式系数」，因为它常出现在：
\((a + b)^n = \sum^{n}_{i = 0} \binom{n}{i}a^ib^{n - i}\)
建议结合「杨辉三角」理解组合数：
题目三
将 n 个相异的物件分成 \(k\) 堆，各堆物件数分别为 \(r_1、\cdots 、r_k\) 的分法。
\(\frac{n!}{r_1! \cdots r_k!}\)
解释一下，它这个 \(k\) 堆是有编号的，即：第 \(1\) 堆、第 \(2\) 堆、\(\cdots\) 、第 \(k\) 堆。
题目四
将 n 个相异的物件平均分成 \(k\) 组的分法。
数据保证 \(n = sk\)，其中 \(n、s、k\) 都是整数。
先按照分堆的方法，分成 \(k\) 堆，每堆 \(\frac{n}{k}\) 个的分法为：
\(\frac{n!}{(\frac{n}{k})^k}\)
由于分组是不要求对组有次序、编号之分的，而堆恰好相反，若第一堆与第二堆交换位置，将会是新的分法，但在分组里面第一组和第二组交换位置还是同一种分法，所以按照分组的分法为：
\(\frac{n!}{(\frac{n}{k})^kk!}\)